Hubble Yasası: Kozmik Genişleme ve Uzaklık Ölçekleri
Hubble yasası, galaksilerin bizden uzaklaşma hızının uzaklıkları ile orantılı olduğunu ifade eder. Bu ilişki, evrenin homojen ve izotropik genişlediğini gösteren temel gözlemsel yasadır. Kuramsal temeli Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) metriği ve kozmolojik kırmızıya kayma kavramına dayanır.
Kozmolojik Kırmızıya Kayma
Kırmızıya kayma tanımı:
$$1 + z = \frac{\lambda_{\text{gözlenen}}}{\lambda_{\text{yayım}}}$$
Ölçek faktörü ile ilişki:
$$1 + z = \frac{a_0}{a(t)}$$
Hubble Parametresi
Anlık genişleme hızı:
$$H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$$
Güncel değeri:
$$H_0 = H(t_0)$$
Hubble Yasasının Lineer Formu
Düşük kırmızıya kayma limitinde:
$$v = H_0 d$$
\(v \approx cz\) yaklaşımı \(z \ll 1\) için geçerlidir.
Friedmann Denklemi
Düz evrende:
$$H^2(a) = H_0^2 \left[ \Omega_m a^{-3} + \Omega_r a^{-4} + \Omega_\Lambda \right]$$
Bu ifade genişlemenin enerji içeriğine bağlı olduğunu gösterir.
Parlaklık Uzaklığı
Akı–ışınım gücü ilişkisi:
$$F = \frac{L}{4\pi d_L^2}$$
Kozmolojik uzaklık integrali:
$$d_L(z) = (1+z) \int_0^z \frac{c \, dz’}{H(z’)}$$
Açısal Çap Uzaklığı
Açısal boyut:
$$\theta = \frac{D}{d_A}$$
Bağlantı:
$$d_L = (1+z)^2 d_A$$
Yavaşlama Parametresi
Tanım:
$$q = -\frac{\ddot{a}a}{\dot{a}^2}$$
Karanlık enerji baskın evrende:
$$q < 0$$
Yaş–Hubble İlişkisi
Madde baskın düz evrende yaklaşık yaş:
$$t_0 \approx \frac{2}{3H_0}$$
Genel durumda:
$$t_0 = \int_0^1 \frac{da}{aH(a)}$$
Hubble Uzunluğu
Karakteristik ölçek:
$$R_H = \frac{c}{H_0}$$
Bu değer gözlenebilir evren ölçeğini belirler.
Pekuliyer Hızlar
Gerçek hız:
$$v_{\text{toplam}} = H_0 d + v_{\text{pek}}$$
Düşük uzaklıklarda \(v_{\text{pek}}\) önemli olabilir.
Tip Ia Süpernovalar
Uzaklık modülü:
$$\mu = 5\log_{10}(d_L) – 5$$
İvmelenme gözlemi bu bağıntıdan elde edilir.
BAO Ölçümleri
Ses ufku ölçeği:
$$r_s = \int_0^{t_*} \frac{c_s}{a(t)} dt$$
Bu ölçek kozmik cetvel görevi görür.
Sonuç
Hubble yasası, evrenin genişlediğini gösteren temel gözlemsel ilişkidir. Düşük kırmızıya kaymada \(v = H_0 d\) lineer bağıntısı geçerlidir; genel durumda uzaklık hesapları Friedmann dinamiği ile yapılır. Parlaklık ve açısal uzaklık ilişkileri, karanlık enerji ve madde yoğunluğunu sınırlar. Hubble parametresi, evrenin yaşı ve ölçeğini belirleyen temel kozmolojik büyüklüktür.