Radyal Hız Yöntemi: Doppler Spektroskopisi ve Kütle Fonksiyonu
Radyal hız yöntemi, bir yıldızın tayf çizgilerindeki periyodik Doppler kaymasını ölçerek etrafında dolanan bir ötegezegenin varlığını belirler. Gezegen ve yıldız ortak kütle merkezi etrafında hareket eder; bu hareket yıldızın gözlem doğrultusundaki hız bileşeninde periyodik değişim üretir. Yöntem gezegenin minimum kütlesini ve yörünge parametrelerini sağlar.
Doppler Kayması Temeli
Düşük hız limitinde tayf kayması:
$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}$$
Burada \(v_r\) yıldızın radyal hızıdır. Relativistik tam ifade:
$$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$$
\(\beta = v_r/c\).
İki Cisim Dinamiği
Kepler üçüncü yasası:
$$P^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(M_* + M_p)}$$
Yıldızın yörünge yarıçapı:
$$a_* = \frac{M_p}{M_* + M_p} a$$
Hız Eğrisi
Dairesel yörüngede yıldızın radyal hızı:
$$v_r(t) = K \sin \left( \frac{2\pi t}{P} + \phi \right)$$
Burada \(K\) hız genliği ve \(\phi\) fazdır.
Hız Genliği
Genel durumda hız genliği:
$$K = \left( \frac{2\pi G}{P} \right)^{1/3} \frac{M_p \sin i}{(M_* + M_p)^{2/3}} \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}$$
Burada \(i\) eğim ve \(e\) dışmerkezliktir.
Kütle Fonksiyonu
Gözlenen büyüklükten türetilen kütle fonksiyonu:
$$f(M) = \frac{(M_p \sin i)^3}{(M_* + M_p)^2} = \frac{P K^3}{2\pi G} (1-e^2)^{3/2}$$
\(i\) bilinmediği için ölçülen değer \(M_p \sin i\)’dir.
Eliptik Yörünge
Eliptik durumda hız:
$$v_r(t) = K [\cos(\theta + \omega) + e \cos\omega]$$
Burada \(\omega\) periastron açısı ve \(\theta\) gerçek anomalidir.
Kepler Denklemi
Ortalama anomaliden eksantrik anomaliye geçiş:
$$M = E – e \sin E$$
Gerçek anomali:
$$\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}$$
Kütle Tahmini
\(M_p \ll M_*\) yaklaşımı ile:
$$M_p \sin i \approx \frac{K P^{1/3} M_*^{2/3}}{(2\pi G)^{1/3}} \sqrt{1-e^2}$$
Bu ifade minimum gezegen kütlesini verir.
Spektral Çözünürlük
Hassas hız ölçümü için çözünürlük:
$$R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda}$$
m/s mertebesinde hassasiyet gereklidir.
Gürültü Kaynakları
Toplam hız belirsizliği:
$$\sigma_v^2 = \sigma_{\text{fot}}^2 + \sigma_{\text{aktivite}}^2 + \sigma_{\text{alet}}^2$$
Yıldız lekeleri ve konvektif hareketler sistematik hata üretir.
Çoklu Gezegen Sistemleri
Birden fazla gezegen için toplam hız:
$$v_r(t) = \sum_i K_i [\cos(\theta_i + \omega_i) + e_i \cos\omega_i]$$
Her bileşen ayrı periyot içerir.
Transit ile Birleşik Çözüm
Transit yöntemi eğimi verir:
$$i \approx 90^\circ$$
Böylece gerçek kütle:
$$M_p \approx M_p \sin i$$
Yoğunluk:
$$\rho_p = \frac{3 M_p}{4\pi R_p^3}$$
Sonuç
Radyal hız yöntemi, yıldızın Doppler kaymasını ölçerek ötegezegenlerin minimum kütlesini ve yörünge parametrelerini belirler. Hız genliği Kepler dinamiğine bağlıdır ve kütle fonksiyonu ile ifade edilir. Eliptik yörüngelerde Kepler denklemi çözülür. Spektral çözünürlük ve gürültü kontrolü m/s hassasiyet için kritiktir. Transit verileri ile birleştiğinde gerçek kütle ve gezegen yoğunluğu elde edilir.